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Líneas iguales
Un acertijo
publicado por la SOAREM (Sociedad Argentina de Educación
Matemática), allá por julio de 2000, planteaba lo siguiente: hay que
colocar en un tablero de 6 x 6, doce fichas de manera tal que queden dos
por fila y columna. Las soluciones que tenía el mencionado acertijo eran varias (era un acertijo/entrenamiento para niños). Entonces se
me ocurrió plantear un contra desafío para gente grande, a la
Sociedad, con lo siguiente:
1 - ¿De cuantas formas distintas pueden ubicarse
en un tablero de 6 x 6, doce
fichas de forma tal que queden dos por fila y columna?
Tal como se ve en el gráfico la figura A muestra una configuración y la
figura B otra, que resulta
de modificar las fichas marcadas en verde. Es decir que partiendo de una
configuración determinada podríamos obtener diversas configuraciones
moviendo convenientemente dos (o cuatro, o seis, etc.) fichas cualesquiera.
Basados en esto:
2 - ¿hay alguna forma de obtener el total de
configuraciones sin buscar una por una las soluciones, a fuerza
bruta?
3 - Una vez obtenido el resultado anterior si a dos soluciones que se obtienen por rotaciones o
reflexiones (simetrías) no se consideran diferentes entre sí,
¿cuántas quedan?
Tal lo que se aprecia, la figura 2 es una
rotación de 90º en el sentido de las agujas del reloj de la
figura 1. Para este punto estas
dos configuraciones no se consideran distintas entre sí, sino que
son consideradas
como una sola.
Mi contra-desafío fue publicado el 24 de setiembre de 2000,
en la columna de la SOAREM, en el diario La Voz del Pueblo de Tres
Arroyos e inmediatamente en otros medios gráficos del
país en donde lo hacía la sociedad. Posteriormente lo hice llegar a varios profesionales
de los juegos. Tiempo después, en abril de 2001, el acertijo fue publicado en la
revista Humor & Juegos, Nº 2 (o 106) de Ediciones de
Mente de Buenos Aires, Argentina y por
último el juego apareció en la página web del Día Universal de
la Simetría el 20/02/2002.
Hasta ese momento nadie había
obtenido la/s
respectiva/s solución/es. Cabe consignar que tampoco yo había
hallado respuesta para las dos últimas preguntas, tan solo un número que
había encontrado para la pregunta Nº 1, producto de buscar todas las
soluciones posibles en un plano, computadora mediante y que al no
encontrar un sistema de conteo no sabía si era
válido o no ya que podía haberme equivocado con mi programa. Pasaron algo más de dos años desde la publicación en la web
y, a mediados de 2004, llegó
a mi correo un mail (muy esperado por mí)
desde Capital Federal, del físico Jorge Llambías, con ese número y por supuesto con la explicación matemática por la
cual arribaba a él (punto 2), respondiendo además a la tercera pregunta. Pasado
cierto tiempo, al acertijo lo propuse a la lista Snark y casi llegó a la
solución (error casi imperceptible en una simetría en el punto 3) Jesus Sanz, de Madrid, España. En algo más de nueve años, desde el nacimiento
del acertijo, tan solo dos soluciones. ¡Creo que es muy poco!
¿Habrá alguien más que imite a Jorge y a Jesús?
Nota:
Nuestro agradecimiento a
Jaime Poniachik que tuvo la amabilidad de modificar, para mejor, la forma de
planteo original del desafío y contra desafío sin desvirtuar los mismos.
Tableros
binarios
(variante del acertijo
original)
una creación de Gustavo Piñeiro (*)
El tablero de la izquierda tiene doce fichas
ubicadas de tal forma que hay dos en cada fila y columna. Para abreviar: es
un tablero binario. Este tablero binario, se puede construir superponiendo
convenientemente, dos tableros unitarios, en cada uno de los cuales hay una
ficha en cada fila y columna.
¿Es cierto que cualquier
tablero binario es la superposición de los tableros unitarios convenientes?
La respuesta es SÍ, y una demostración posible es la siguiente.
Tenemos un tablero binario. Elija una ficha
cualquiera y anote en ella el número 1. Moviéndose alternativamente en
horizontal y vertical numere con 2, 3, 4, etc. todas las fichas que encuentre
hasta volver al principio. Si quedan fichas sin numerar, elija una de ellas y
repita el procedimiento. Siga así hasta que todas las fichas queden numeradas.
Uno de los tableros unitarios se forma con
las fichas que lleven números pares y el otro con las fichas que llevan números
impares.
¿Habrá alguna otra
demostración diferente?
(*) Los datos del autor del
juego pueden verse aquí
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